Дерево есть связный граф

Теория графов. Термины и определения в картинках

В этой статье мы познакомимся с основными терминами и определениями Теории графов. Каждый термин схематично показан на картинках.

Самый объёмный модуль на курсе «Алгоритмы и структуры данных» посвящён теории графов.

Граф — это топологичекая модель, которая состоит из множества вершин и множества соединяющих их рёбер. При этом значение имеет только сам факт, какая вершина с какой соединена.

Например, граф на рисунке состоит из 8 вершин и 8 рёбер.

Очень многие задачи могут быть решены используя богатую библиотеку алгоритмов теории графов. Для этого достаточно лишь принять объекты за вершины, а связь между ними — за рёбра, после чего весь арсенал алгоритмов теории графов к вашим услугам: нахождение маршрута от одного объекта к другому, поиск связанных компонент, вычисление кратчайших путей, поиск сети максимального потока и многое другое.

В этой статье мы познакомимся с основными терминами и определениями теории графов. На курсе “Алгоритмы и Структуры данных” в компании Отус “Теория графов” изучается в самом объёмном модуле из 6 вебинаров, где мы изучаем десяток самых популярных алгоритмов.

Вершина — точка в графе, отдельный объект, для топологической модели графа не имеет значения координата вершины, её расположение, цвет, вкус, размер; однако при решении некоторых задачах вершины могут раскрашиваться в разные цвета или сохранять числовые значения.

Ребро — неупорядоченная пара двух вершин, которые связаны друг с другом. Эти вершины называются концевыми точками или концами ребра. При этом важен сам факт наличия связи, каким именно образом осуществляется эта связь и по какой дороге — не имеет значения; однако рёбра может быть присвоен “вес”, что позволит говорить о “нагруженном графе” и решать задачи оптимизации.

Инцидентность — вершина и ребро называются инцидентными, если вершина является для этого ребра концевой. Обратите внимание, что термин “инцидентность” применим только к вершине и ребру.

Смежность вершин — две вершины называются смежными, если они инцидентны одному ребру.

Смежность рёбер — два ребра называются смежными, если они инцедентны одной вершине.

Говоря проще — две вершины смежные, если они соединены ребром, два ребра смежные — если они соединены вершиной.

Петля — ребро, инцидентное одной вершине. Ребро, которое замыкается на одной вершине.

Псевдограф — граф с петлями. С такими графами не очень удобно работать, потому что переходя по петле мы остаёмся в той же самой вершине, поэтому у него есть своё название.

Кратные рёбра — рёбра, имеющие одинаковые концевые вершины, по другому их называют ещё параллельными.

Мультиграф — граф с кратными рёбрами.

Псевдомультиграф — граф с петлями и кратными рёбрами.

Степень вершины — это количество рёбер, инцидентных указанной вершине. По-другому — количество рёбер, исходящих из вершины. Петля увеливает степень вершины на 2.

Изолированная вершина — вершина с нулевой степенью.

Висячая вершина — вершина со степенью 1.

Подграф. Если в исходном графе выделить несколько вершин и несколько рёбер (между выбранными вершинами), то мы получим подграф исходного графа.

Идея подграфов используется во многих алгоритмах, например, сначала создаётся подграф их всех вершин без рёбер, а потом дополняется выбранными рёбрами.

Полный граф — это граф, в котором каждые две вершины соединены одним ребром.

Сколько рёбер в полном графе? Это известная задача о рукопожатиях: собралось N человек (вершин) и каждый с каждым обменялся рукопожатием (ребро), сколько всего было рукопожатий? Вычисляется как сумма чисел от 1 до N — каждый новый участник должен пожать руку всем присутствующим, вычисляется по формуле: N * (N — 1) / 2.

Регулярный граф — граф, в котором степени всех вершин одинаковые.

Двудольный граф — если все вершины графа можно разделить на два множества таким образом, что каждое ребро соединяет вершины из разных множеств, то такой граф называется двудольным. Например, клиент-серверное приложение содержит множество запросов (рёбер) между клиентом и сервером, но нет запросов внутри клиента или внутри сервера.

Планарный граф. Если граф можно разместить на плоскости таким образом, чтобы рёбра не пересекались, то он называется “планарным графом” или “плоским графом”.

Если это невозможно сделать, то граф называется “непланарным”.

Минимальные непланарные графы — это полный граф К5 из 5 вершин и полный двудольный граф К3,3 из 3+3 вершин (известная задача о 3 соседях и 3 колодцах). Если какой-либо граф в качестве подграфа содержит К5 или К3,3, то он является непланарным.

Путь или Маршрут — это последовательность смежных рёбер. Обычно путь задаётся перечислением вершин, по которым он пролегает.

Длина пути — количество рёбер в пути.

Цепь — маршрут без повторяющихся рёбер.

Простая цепь — цепь без повторяющихся вершин.

Цикл или Контур — цепь, в котором последняя вершина совпадает с первой.

Длина цикла — количество рёбер в цикле.

Самый короткий цикл — это петля.

Цикл Эйлера — цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. Эйлер доказал, что такой цикл существует тогда, и только тогда, когда все вершины в связанном графе имеют чётную степень.

Цикл Гамильтона — цикл, проходящий через все вершины графа по одному разу. Другими словами — это простой цикл, в который входят все вершины графа.

Взвешенный граф — граф, в котором у каждого ребра и/или каждой вершины есть “вес” — некоторое число, которое может обозначать длину пути, его стоимость и т. п. Для взвешенного графа составляются различные алгоритмы оптимизации, например поиск кратчайшего пути.

Пока ещё не придуман алгоритм, который за полиномиальное время нашёл бы кратчайший цикл Гамильтона в полном нагруженном графе, однако есть несколько приближённых алгоритмов, которые за приемлимое время находят если не кратчайший, то очень короткий цикл, эти алгоритмы мы также рассматриваем на курсе Отуса — “Алгоритмы и структуры данных”.

Связный граф — граф, в котором существует путь между любыми двумия вершинами.

Дерево — связный граф без циклов.

Между любыми двумя вершинами дерева существует единственный путь.

Деревья часто используются для организации иерархической структуры данных, например, при создании двоичных деревьев поиска или кучи, в этом случае одну вершину дерева называют корнем.

Лес — граф, в котором несколько деревьев.

Ориентированный граф или Орграф — граф, в котором рёбра имеют направления.

Дуга — направленные рёбра в ориентированном графе.

Полустепень захода вершины — количество дуг, заходящих в эту вершину.

Исток — вершина с нулевой полустепенью захода.

Полустепень исхода вершины — количество дуг, исходящих из этой вершины

Сток — вершина с нулевой полустепенью исхода.

Компонента связности — множество таких вершин графа, что между любыми двумя вершинами существует маршрут.

Компонента сильной связности — максимальное множество вершин орграфа, между любыми двумя вершинами которого существует путь по дугам.

Компонента слабой связности — максимальное множество вершин орграфа, между любыми двумя вершинами которого существует путь по дугам без учёта направления (по дугам можно двигаться в любом направлении).

Мост — ребро, при удалении которого, количество связанных компонент графа увеличивается.

Это только основные термины и определения теории графов, которые мы рассматриваем на первом вебинаре модуля “Теория графов”. Цель статьи — дать наглядное и понятное представление об этих терминах, для чего и были нарисованы эти картинки.

Источник

§ 3.8. Деревья, лес

Определение 3.8.1. Неориентированным деревом (или просто деревом) называется связный граф без циклов. Дерево есть связный граф, содержащий n вершин и n – 1 ребер, дерево есть граф, любые две вершины которого можно соединить простой цепью.

Пример. Графы, изображенные на рис 21, являются деревьями.

рис.21

Если граф несвязный и не имеет циклов, то каждая его связная компонента будет деревом. Такой граф называется лесом. Можно интерпретировать рис.21 как лес, состоящий из трех деревьев.

Определение 3.8.2. Остовным деревом связного графа G называется любой его подграф, содержащий все вершины графа G и являющийся деревом.

Пример. Для графа, изображенного на рис. 22 а), графы на рис. б и в являются остовными деревьями.

рис.22

Определение 3.8.3. Ориентированным деревом называют граф, в котором в каждую вершину, кроме одной, называемой корнем дерева, заходит ровно одна дуга. В корень дерева ни одна дуга не заходит. Вершины, из которых не выходит ни одна дуга, называются листьями (рис.23).

рис.23

§ 3.9. Взвешенные графы

Определение 3.9.1. Взвешенный граф – это граф дугам, которого поставлены в соответствие веса, так что дуге (x_i, x_j) сопоставлено некоторое число c (x_i, x_j) = c_ij, называемое длиной (или весом, или стоимостью) дуги. Обычный (не взвешенный) граф можно интерпретировать как взвешенный, все ребра которого имеют одинаковый вес 1.

Определение 3.9.2. Длина пути во взвешенном графе — это сумма длин (весов) тех ребер, из которых состоит путь.

Определение 3.9.3. Расстояние между вершинами – это длина кратчайшего пути. Например, расстояние от вершины a до вершины d во взвешенном графе, изображенном на рис. 24, равно 6.

рис.24

Примеры взвешенных графов

§ 3.10. Эйлеровы и гамильтоновы графы

Определение 3.10.1. Если граф имеет цикл (не обязательно простой), содержащий все ребра графа по одному разу, то такой цикл называется эйлеровым циклом, а граф называется эйлеровым графом.

Определение 3.10.2. Если граф имеет цепь (не обязательно простую), содержащую все вершины по одному разу, то такая цепь называется эйлеровой цепью, а граф называется полуэйлеровым графом.

Эти понятия возникли в статье Эйлера в 1735 г., в которой он решал задачу о Кенигсбергских мостах и впервые ввел понятие графа. На рис.25, а приведен план расположения семи мостов в Кенигсберге (ныне Калининграде). Задача состоит в том, чтобы пройти каждый мост по одному разу и вернуться в исходную точку С. Поскольку в конце обхода нужно вернуться в исходную часть города, и на каждом мосту нужно побывать по одному разу, этот маршрут является простым циклом, содержащим все ребра графа. В дальнейшем такие циклы и стали называть эйлеровыми, а графы, имеющие эйлеров цикл – эйлеровыми графами.

Эйлеров цикл можно считать следом пера, вычерчивающего этот граф, не отрываясь от бумаги. Таким образом, эйлеровы графы – это графы, которые можно изобразить одним росчерком пера, причем процесс такого изображения начинается и заканчивается в одной и той же точке.

Обнаружив, что в данном графе не существует циклических обходов, проходящих по всем ребрам по одному разу, Эйлер обратился к общей задаче: при каких условиях в графе можно найти такой цикл? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема Эйлера. Чтобы в связанном неориентированном графе G существовал эйлеров цикл, необходимо и достаточно, чтобы число вершин нечетной степени было четным.

Определение 3.10.3. Гамильтоновой цепью графа называется его простая цепь, которая проходит через каждую вершину графа точно один раз.

Определение 3.10.4. Цикл графа, проходящий через каждую его вершину, называется гамильтоновым циклом.

Определение 3.10.5. Граф называется гамильтоновым, если он обладает гамильтоновым циклом.

Гамильтоновы графы применяются для моделирования многих практических задач, например, служат моделью при составлении расписания движения поездов. Основой всех таких задач служит классическая задача коммивояжера: коммивояжер должен совершить поездку по городам и вернуться обратно, побывав в каждом городе ровно один раз, сведя при этом затраты на передвижения к минимуму.

Графическая модель задачи коммивояжера состоит из гамильтонова графа, вершины которого изображают города, а ребра — связывающие их дороги. Кроме того, каждое ребро оснащено весом, обозначающим транспортные затраты, необходимые для путешествия по соответствующей дороге, такие, как, например, расстояние между городами или время движения по дороге. Для решения задачи необходимо найти гамильтонов цикл минимального общего веса.

Теорема Кёнига. В полном конечном графе всегда существует гамильтонов путь.

Если в графе G(X) с n вершинами для любой пары вершин x_i и x_j справедливо неравенство

где m(х_i), m(x_j) – степени вершин х_i и x_j, то граф G(X) имеет гамильтонову цепь.

Несмотря на сходство в определении эйлерова и гамильтонового циклов, соответствующие теории для этих понятий имеют мало общего. Критерий существования для эйлеровых циклов был установлен просто, для гамильтоновых циклов никакого общего правила неизвестно. Более того, иногда даже для конкретных графов бывает трудно решить, можно ли найти такой цикл. В принципе, поскольку речь идет о конечном числе вершин, задачу можно решить перебором, однако эффективного алгоритма неизвестно.

Источник