Дерево решений критерий вальда

2.7. Критерий Вальда

Критерий Вальда является самым «осторожным». Согласно ему, оптимальной альтернативой будет та, которая обеспечивает наилучший исход среди всех возможных альтернатив при самом плохом стечении обстоятельств.

Если исходы отражают подлежащие минимизации показатели (убытки, расходы, потери и т.д.), то критерий Вальда ориентируется на «минимакс» (минимум среди максимальных значений потерь всех альтернатив).

Если в качестве исходов альтернатив фигурируют показатели прибыли, дохода и других показателей, которые надо максимизировать (по принципу «чем больше, тем лучше»), то ищется «максимин» выигрыша (максимум среди минимальных выигрышей). Здесь и далее для всех критериев в тексте мы будем рассматривать именно такой случай, когда исход показывает некий выигрыш.

По критерию Вальда оценкой i -й альтернативы является ее наименьший выигрыш:

Оптимальной признается альтернатива с максимальным наихудшим выигрышем:

Пример применения критерия Вальда

Есть два проекта Х₁ и Х₂ , которые при трех возможных сценариях развития региона ( j=1..3 ) обеспечивают разную прибыль. Значения прибыли приведены в таблице 2.2. Необходимо выбрать проект для реализации.

Табл.2.2. Исходные данные.

Альтер­нативы ( Xi )	Состояния природы ( j )
	1	2	3
Х1	45	25	50
X2	20	60	25

Среди возможных проектов нет доминирующих ни абсолютно, ни по состояниям. Поэтому решение придется принимать по критериям.

Если выбор оптимального проекта осуществляется по критерию Вальда, то ЛПР должен выполнить следующие действия:

1. Найти минимальные исходы для каждой альтернативы. Это и будут значения критерия Вальда:

W₁ = min ( x_1j ), j = 1..3 => W₁ = min (45, 25, 50) = 25

W₂ = min ( x_2j ), j = 1..3 => W₂ = min (20, 60, 25) = 20

2. Сравнить значения критерия Вальда и найти наибольшую величину. Альтернатива с максимальным значением критерия будет считаться оптимальной:

Если бы решение принималось только по критерию Вальда, ЛПР выбрал для реализации проект Х₁ , поскольку прибыль, которую обеспечит данный проект при самом плохом развитии ситуации, выше.

Выбрав оптимальную альтернативу по критерию Вальда, ЛПР гарантирует себе, что при самом плохом стечении обстоятельств он не получит меньше, чем значение критерия. Поэтому данный показатель еще называют критерием гарантированного результата.

Основной проблемой критерия Вальда является его излишняя пессимистичность, и, как следствие, не всегда логичный результат. Так, например, при выборе по данному критерию между альтернативами А и В следует остановиться на варианте А . Однако в жизни логичнее было бы выбрать В , так как в худшем случае В лишь немного хуже А , тогда как при хорошем стечении обстоятельств В обеспечивает гораздо больший выигрыш.

Источник

21. Матричные игры. Цена игры.

Матричные игры, понятие игр теории. Матричные игры — игры, в которых участвуют два игрока (I и II) с противоположными интересами, причём каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий. Если игрок I имеет m стратегий, а игрок II — n стратегий, то игра может быть задана (m ´ n)-maтрицей А = ||aij||, где aij есть выигрыш игрока I, если он выберет стратегию i (i = -1, . m), а игрок II — стратегию j (j = 1, . n). Следуя общим принципам поведения в антагонистических играх (частным случаем которых являются Матричные игры), игрок I стремится выбрать такую стратегию i0, на которой достигается.

игрок II стремится выбрать стратегию jo, на которой достигается

Если u1 = u2, то пара (i0, j0) составляет седловую точку игры, то есть выполняется двойное неравенство

Основная теорема теории Матричные игры (теорема Неймана о минимаксе) утверждает, что в любой Матричные игры существуют оптимальные смешанные стратегии х*, у*, на которых достигаемые «минимаксы» равны (общее их значение есть значение игры). Например, игра с матрицей имеет седловую точку при i0 = 2, j0 = 1, а значение игры равно 2; игра с матрицей не имеет седловой точки. Для неё оптимальные смешанные стратегии суть х* = (3/4, 1/4), y* = (1/2, 1/2); значение игры равно 1/2.

32. Принятие решений в условиях полной неопределенности. Критерий Вальда.

Решить игру с природой по критерию Вальда. Решение Критерий Вальда (максиминный, минимаксный) а) если А – матрица выигрышей, то выбирается Оптимальной является 3 стратегия б) если А – матрица потерь, то выбирается Оптимальной является 1 стратегия

33. Принятие решений в условиях полной неопределенности. Критерий Сэвиджа.

Решить игру с природой по критерию Сэвиджа Решение Строится матрица R – матрица риска Элементы находятся по формуле а) если А – матрица выигрышей Оптимальной является 2 и 3 стратегии б) если А – матрица потерь Оптимальной является 1 стратегия

34. Принятие решений в условиях полной неопределенности. Критерий Гурвица.

Решить игру с природой по критерию Гурвица, α=0,4 Решение а) если А – матрица выигрышей б) если А – матрица потерь а) если А – матрица выигрышей, то оптимальной является 3 стратегия б) если А – матрица потерь, то оптимальной является 1 стратегия

35,36Дерево принятия решений — это дерево, на ребрах которого записаны атрибуты, от которых зависит целевая функция, в листьях записаны значения целевой функции, а в остальных узлах — атрибуты, по которым различаются случаи.

Основные этапы реализации метода. Основные этапы разработки или выбора РУР по методу дерева решений:

1) составление новой цели развития или совершенствования компании;

2) сбор материалов о реальном состоянии дел в компании по новой цели;

3) формулирование проблемы как разности между новой целью и обобщенной ситуацией в компании;

4) выбор или разработка критериев оценки проблемы;

5) декомпозиция проблемы на самостоятельные составные части;

6) поиск ресурсов и исполнителей разрешения проблем;

7) разработка вариантов основных решений и их предполагаемая эффективность;

8) для каждого варианта основных решений разработка вариантов детализирующих решений;

9) для каждого варианта детализирующего решения разработка вариантов очередного набора детализирующих решений и т.д.;

10) оценка каждой ветви взаимодействующих решений на эффективность действий и возможности достижения цели;

11) выбор наиболее приемлемых сочетаний вариантов решений;

12) практическая реализация выбранного варианта сочетания решений.

Источник

Принятие решений по критери Вальда

В зависимости от того решается ли задача на максимум или на минимум критерий Вальда применяется в двух различных вариантах:

Важнейшей особенностью этого критерия является то, что он не требует знания вероятности состояния природы.

Данный критерий опирается на принцип наибольшей осторожности, поскольку он основывается на выборе наилучшей из всех наихудших стратегий.

1. Если в исходной матрице по условию задачи элменты этой матрицы представляют собой потери лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется minimax-ный критерий. Ri=>wi=minmax Vij и читается: для определения оптимальной стратегии Ri необходимо в каждой строке матрицы Vij найти максимальный элемент и из них выбрать минимальный, который будет соответствовать оптимальной стратегии.
2. Если элементы исходной матрицы составляют выигрыш лица принимающего решение, то принимается maxmin критерий решений:

И рассчитывается: для определения максимальной стратегии Ri в каждой строке матрицы Vij находят минимальный элемент, а потом из них выбирают максимальный.

Варианты возможности предприятия

Вариант спроса и стоимости

28 и минимальная 23, значит лучшая стратегия R3

Таким образом для решения задачи при неполных данных используя критерий Вальда в качестве оптимальной выбирают стратегию R3. Это и есть лучшая из худших стратегий. Minmax критерий называют критерием писсимиста.

Критерий Севиджа

Недостатком критерия Вальда является его крайняя писсимистичность. Эту писсимистичность можно устранить, применяя для выбора оптимальной стратегии критерий Севиджа. Но надо помнить что критерий Севиджа в качестве исходной использует не матрицу проигрышей или выигрышей, а матрицу рисков, элементы которой рассчитываются из выражений рис4.

Такая запись означает, что разность Vij и значением и является наилучшим.

Независимо от того являются ли в исходной матрице элементы Vij потерями или выигрышем в обоих случаях элементы матрицы риска дают величину потерь для лица принимающего решение. Таким образом можно применять к элементам матрицы риска только minmax критерий. При этом критерий Севиджа рекомендует в условиях неопределенности выбирать ту стратегию Rj при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации.

Варианты возможности предприятия

Вариант спроса и стоимости

Источник

Критерии для принятия решения

Инструкция . Для выбора оптимальной стратегии в онлайн режиме необходимо задать размерность матрицы. Затем в новом диалоговом окне выбрать необходимые критерии и коэффициенты. Также можно вставить данные из Excel . Примечание: Сначала, если возможно, упрощают матрицу, вычеркивая невыгодные стратегии A. Стратегии природы вычеркивать нельзя, т. к. каждое из состояний природы может наступить случайным образом, независимо от действий A .

Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. В широком смысле под «природой» понимается совокупность неопределенных факторов; влияющих на эффективность принимаемых решений. Безразличие природы к игре (выигрышу) к возможность получения экономистом (статистиком) дополнительной информации о ее состоянии отличают игру экономиста с природой от обычной матричной игры, в которой принимают участие два сознательных игрока.

Пример . Предприятие может выпускать 3 вида продукции А₁, А₂ и А₃, получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из 4-х состояний (В₁, В₂, В₃, В₄). Элементы платежной матрицы характеризуют прибыль, которую получат при выпуске i-й продукции при j-м состоянии спроса. Игра предприятия А против спроса В задана платежной матрицей:

В1	В2	В3	В4
А1	2	7	8	6
А2	2	8	7	3
А3	4	3	4	2

Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие максимизацию средней величины прибыли при любом состоянии спроса, считая его определенным. Задача сводится к игровой модели, в которой.

Решение.
Критерий максимакса.

Ai	П1	П2	П3	П4	max(aij)
A1	2	7	8	6	8
A2	2	8	7	3	8
A3	4	3	4	2	4

Выбираем из (8; 8; 4) максимальный элемент max=8
Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Лапласа.

Ai	П1	П2	П3	П4	∑(aij)
A1	0.5	1.75	2	1.5	5.75
A2	0.5	2	1.75	0.75	5
A3	1	0.75	1	0.5	3.25
pj	0.25	0.25	0.25	0.25

Выбираем из (5.75; 5; 3.25) максимальный элемент max=5.75
Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Вальда.

Ai	П1	П2	П3	П4	min(aij)
A1	2	7	8	6	2
A2	2	8	7	3	2
A3	4	3	4	2	2

Выбираем из (2; 2; 2) максимальный элемент max=2
Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Севиджа.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b_j = max(a_ij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r₁₁ = 4 — 2 = 2; r₂₁ = 4 — 2 = 2; r₃₁ = 4 — 4 = 0;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r₁₂ = 8 — 7 = 1; r₂₂ = 8 — 8 = 0; r₃₂ = 8 — 3 = 5;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r₁₃ = 8 — 8 = 0; r₂₃ = 8 — 7 = 1; r₃₃ = 8 — 4 = 4;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r₁₄ = 6 — 6 = 0; r₂₄ = 6 — 3 = 3; r₃₄ = 6 — 2 = 4;

Ai	П1	П2	П3	П4
A1	2	1	0	0
A2	2	0	1	3
A3	0	5	4	4

Результаты вычислений оформим в виде таблицы.

Ai	П1	П2	П3	П4	max(aij)
A1	2	1	0	0	2
A2	2	0	1	3	3
A3	0	5	4	4	5

Выбираем из (2; 3; 5) минимальный элемент min=2
Вывод: выбираем стратегию N=1.

Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A₁.

Пример . Предлагается три проекта инвестиций и прогноз получения доходов за год (дивиденды и повышение стоимости капитала) при различных возможных исходах.

Проект инвестиций 1 возможные исходы:			Проект инвестиций 2 возможные исходы:			Проект инвестиций 3 возможные исходы:
1	2	3	1	2	3	1	2	3
40	40	20	30	20	30	20	30	20

Источник