Деревья и лес в теории графов
Дерево — это связный ациклический граф .Связность означает наличие путей между любой парой вершин, ацикличность — отсутствие циклов и то, что между парами вершин имеется только по одному пути.
Лес — упорядоченное множество упорядоченных деревьев.
Ориентированное (направленное) дерево — ацикличный орграф ( ориентированный граф , не содержащий циклов), в котором только одна вершина имеет нулевую степень захода (в неё не ведут дуги), а все остальные вершины имеют степень захода 1 (в них ведёт ровно по одной дуге). Вершина с нулевой степенью захода называется корнем дерева, вершины с нулевой степенью исхода (из которых не исходит ни одна дуга) называются концевыми вершинами или листьями.
Содержимое разработки
Определение. Н–граф называется неориентированным деревом (или просто деревом) если он связен и не содержит циклов, а значит петель и кратных ребер. Дерево – это минимальный связный граф в том смысле, что при удалении хотя бы одного ребра он теряет связность. Наличие этих двух свойств (связность и отсутствие циклов) позволяет жестко связать число вершин и число ребер: в дереве с 
вершинами всегда 
ребер. Пример графа–дерева приведен на рисунке 3.13. В этом графе 8 вершин и 7 ребер. Ни одно ребро нельзя удалить из графа без того, чтобы он не потерял связность.
Вершина 
графа 
называется концевой или висячей, если 
В графе на рис. 3.13 концевыми являются вершины 
.
Неориентированный граф–дерево может быть превращен в ориентированный. Ориентация неориентированного дерева проводится следующим образом. В дереве выбирается вершина 
– так называемый корень дерева , и все ребра такого дерева с корнем ориентируются от этой вершины – корня. Для каждой выбранной вершины ориентация дерева единственна, все ребра ориентированы от корня. Если изменить направления всех ребер ориентированного дерева (к корню) получим ориентированный граф, который иногда называют сетью сборки.
В каждую вершину ориентированного дерева (за исключением корня) входит только одно ребро. Любое дерево можно ориентировать, выбрав в качестве корня любую его вершину.
Пусть – вершина дерева с корнем , 
– множество всех вершин, связанных с корнем цепями, проходящими через вершину . Это множество порождает подграф 
, который называется ветвью вершины в дереве с корнем . Например, ветвью вершины 
на рис. 3.13 является подграф 
, содержащий вершины 
и ребра 
.
Определение. Лес – несвязный н–граф без циклов. Связные компоненты леса являются деревьями. Любая часть леса также является лесом или деревом. В неориентированном дереве между любыми двумя вершинами существует цепь и притом только одна.
Рассмотрим пример использование графа–дерева для решения задачи поиска гамильтоновых путей на взвешенном по ребрам графе, приведенном на рис. 3.14. Веса можно рассматривать как некоторый эквивалент затрат, связанных с переходом по ребру из одной вершины в другую. Будем считать, что коммивояжер отправляется из вершины 
, с тем, чтобы посетить вершины 
и вновь вернуться в .
Для решения задачи удобно воспользоваться вспомогательным графом–деревом, который позволяет не только получить все гамильтоновы пути, но и отслеживать вес каждого пути. Методика построения следующая: выделяется исходная вершина и ей присваивается нулевой вес. На вспомогательном графе такая вершина помечается как . Из исходной вершины проводятся ребра во все смежные вершины, по которым маршрут еще не проходил. Новым вершинам присваиваются веса, равный затратам, которые необходимо понести для их достижения из исходной вершины. Для рассматриваемого примера результатом первого шага станут вершины . Далее точно таким же образом производятся шаги из вновь полученных вершин, пока эти пути не приведут в исходную вершину. Часть путей могут быть тупиковыми, так как не позволяют завершить маршрут не заходя дважды в одну и ту же вершину. В данном примере, в частности, последовательность вершин является тупиковой.
Рис. 3.15. Граф–дерево, соответствующий полному перебору вариантов построения гамильтонового цикла в исходном графе рис. 3.14.
Приведенный на рис. 3.15 граф–дерево построен для решения задачи поиска кратчайшего гамильтонового пути с использованием метода полного перебора вариантов.
Проблема, однако, в том, что при большом числе вершин полный перебор вариантов, это работа, требующая огромных вычислений. В частности, для полного графа с вершинами число маршрутов равно . Если 5!=120, то 10!=3 628 800. И все-таки перебор маршрутов иногда бывает полезен. Известен метод решения задачи, в соответствии с которым шаг за шагом строится не полное, а «усеченное» дерево – часть ветвей в процессе его «выращивания» отсекаются, а оставшиеся ветви ведут к решению. Этот метод называется методом ветвей и границ.
Идея метода достаточно очевидна – каким-либо образом выбрать на графе некоторый путь, желательно покороче, а затем отбрасывать все варианты, которые явно длиннее. Простейшим алгоритмом может быть продолжение движения из вершины, имеющей минимальный вес. В рассмотренном примере, после первого шага, движение должно быть продолжено из вершины с наименьшим весом , что приводит в вершины и .
Выигрыш состоит в том, что неподходящие варианты просматриваются не до конца, а лишь до того момента, когда становится ясно, что рассматриваемый вариант хуже имеющегося. Общая полезность такого подхода зависит от степени дифференциации различных маршрутов, и от удачности построения первого маршрута. Ясно также, что в самом плохом случае мы получим полный перебор вариантов.
-82%
Источник
Дерево, эквивалентные определения
Для графа [math]G[/math] эквивалентны следующие утверждения:
- [math]G[/math] — дерево.
- Любые две вершины графа [math]G[/math] соединены единственным простым путем.
- [math]G[/math] — связен и [math] p = q + 1 [/math] , где [math]p[/math] — количество вершин, а [math]q[/math] количество ребер.
- [math]G[/math] — ацикличен и [math] p = q + 1 [/math] , где [math]p[/math] — количество вершин, а [math]q[/math] количество ребер.
- [math]G[/math] — ацикличен и при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется один простой цикл.
- [math]G[/math] — связный граф, отличный от [math] K_p [/math] для [math] p \gt 3 [/math] , а также при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется один простой цикл.
- [math]G[/math] — граф, отличный от [math] K_3 \cup K_1 [/math] и [math] K_3 \cup K_2 [/math] , а также [math] p = q + 1 [/math] , где [math]p[/math] — количество вершин, а [math]q[/math] количество ребер, и при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется один простой цикл.
Доказательство эквивалентности
Граф связен, поэтому любые две вершнины соединены путем. Граф ацикличен, значит путь единственен, а также прост, поскольку никакой путь не может зайти в одну вершину два раза, потому что это противоречит ацикличности.
Очевидно, что граф связен. Докажем по индукции, соотношение [math]p = q + 1[/math] . Утверждение очевидно для связных графов с одной и двумя вершинами. Предположим, что оно верно для графов, имеющих меньше [math]p[/math] вершин. Если же граф [math]G[/math] имеет [math]p[/math] вершин, то удаление из него любого ребра делает граф [math] G [/math] несвязным в силу единственности простых цепей; более того, получаемый граф будет иметь в точности две компоненты. По предположению индукции в каждой компоненте число вершин на единицу больше числа ребер. Таким образом, [math] p = q + 1 [/math] .
Очевидно, что если граф связен и ребер на одно меньше, чем вершин, то он ацикличен. Преположим, что у нас есть p вершин, и мы добавляем ребра. Если мы добавили ребро для получения цикла, то добавили второй путь между парой вершин, а значит нам не хватит его на добавление вершины и мы получим не связный граф, что противоречит условию.
[math]G[/math] — ациклический граф, значит каждая компонента связности графа является деревом. Так как в каждой из них вершин на единицу больше чем ребер, то [math] p = q + k [/math] , где [math]k[/math] — число компонент связности. Поскольку [math] p = q + k [/math] , то [math] k = 1 [/math] , а значит [math]G[/math] — связен. Таким образом наш граф — дерево, у которого между любой парой вершин есть единственный простой путь. Очевидно, при добавлении ребра появится второй путь между парой вершин, то есть мы получим цикл.
Поскольку [math] K_p [/math] для [math] p \gt 3 [/math] содержит простой цикл, то [math]G[/math] не может им являться. [math]G[/math] связен, так как в ином случае можно было бы добавить ребро так, что граф остался бы ациклическим.
Докажем, что любые две вершины графа соединены единственной простой цепью, а тогда поскольку [math] 2 \Rightarrow 3 [/math] , получим [math] p = q + 1 [/math] . Любые две вершины соединены простой цепью, так как [math]G[/math] — связен. Если две вершины соединены более чем одной простой цепью, то мы получим цикл. Причем он должен являться [math] K_3 [/math] , так как иначе добавив ребро, соединяющее две вершины цикла, мы получим более одного простого цикла, что противоречит условию. [math] K_3 [/math] является собственным подграфом [math]G[/math] , поскольку [math]G[/math] не является [math] K_p [/math] для [math] p \gt 3 [/math] . [math]G[/math] — связен, а значит есть вершина смежная с [math] K_3 [/math] . Очевидно, можно добавить ребро так, что образуется более одного простого цикла. Если нельзя добавить ребра так, чтобы не нарушалось исходное условие, то граф [math]G[/math] является [math]K_p[/math] для [math] p \gt 3 [/math] , и мы получаем противоречие с исходным условием. Значит, любые две вершины графа соединены единственной простой цепью, что и требовалось.
Если [math]G[/math] имеет простой цикл, то он является отдельной компонентой [math]K_3[/math] по ранее доказанному. Все остальные компоненты должны быть деревьями, но для выполнения соотношения [math] p = q + 1 [/math] должно быть не более одной компоненты отличной от [math]K_3[/math] , так как в [math]K_3[/math] [math] p = q = 3 [/math] . Если это дерево содержит простой путь длины 2, то в [math]G[/math] можно добавить ребро так, что образуются два простых цикла. Следовательно, этим деревом является [math]K_1[/math] или [math]K_2[/math] . Значит [math]G[/math] является [math]K_3 \cup K_1[/math] или [math]K_3 \cup K_2[/math] , которые мы исключили из рассмотрения. Значит наш граф ацикличен. Если [math]G[/math] ациклический и [math] p = q + 1 [/math] , то из [math] 4 \Rightarrow 5 [/math] и [math] 5 \Rightarrow 6 [/math] верно, что [math]G[/math] — связен. В итоге получаем, что [math]G[/math] является деревом по определению.
См. также
Источники информации
- Харари Ф. Теория графов. /пер. с англ. — изд. 2-е — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6
- Википедия — дерево(теория графов)
Источник